Fourier umbreyta. Fast Fourier umbreyta. Discrete Fourier umbreyta

Fourier umbreyting - breyting, tengja ákveðna aðgerð af alvöru breytu. Þessi aðgerð er framkvæmd í hvert skipti sem við skynjum mismunandi hljóð. Ear framleiðir sjálfvirk "útreikning", sem uppfylla vitund okkar getur aðeins eftir athugun á hluta æðri stærðfræði. heyra líffæri í mennsku umbreytingu býr, þar sem hljóðið (hefðbundin titrings agna í fjaðrandi miðli, sem breiða í bylgjuform in the solid, fljótandi eða loftkenndu miðli) er komið fýrir I svið gilda samfellda hljóðstyrk tónum mismunandi hæðum. Eftir þetta, heilinn snýr upplýsingarnar inn alla kunnuglega hljóð.

Stærðfræðileg Fourier umbreyta

Ummyndun á hljóðbylgjur & aðrar upplýsingar hristings aðferðir (mælt á ljós losun og sjávar fjöru og að stjörnuvindum eða sól lotur) er hægt að framkvæma og með hjálp stærðfræðilegra aðferða,. Þannig að nota þessar aðferðir, aðgerðir geta verið stækkuð með því að innleiða titringi ferli sett af punktum hluti, þ.e. bylgjaður línur sem fara frá lágmarki í hámark og svo aftur í lágmarki, eins og að veifa á sjó. Fourier umbreyting - umbreytingu fall, sem lýsir fasa eða amplitude hvers sinusoid samsvarar tiltekinni tíðni. Phase er upphafsstaður þeim ferli, og amplitude - af hæð þess.

Fourier umbreyta (dæmi eru sýnd á myndinni) er mjög öflug tól sem er notað á ýmsum sviðum vísinda. Í sumum tilfellum er það notað sem lausn frekar flókin jöfnur sem lýsa dynamic ferli sem koma undir áhrifum ljóss, hita eða raforku. Í öðrum tilvikum, það er hægt að skilgreina reglulega hluti í flóknum waveforms vegna þetta getur verið satt að túlka á ýmsa tilraunaniðurstöður í efnafræði, læknisfræði og stjörnufræði.

sögulegar upplýsingar

The fyrstur til að beita þessari aðferð var franskur stærðfræðingur Zhan Batist Fure. Ummyndun, síðan nefnd eftir honum, var upphaflega notað til að lýsa hita leiðni kerfi. Fourier öllu Adult líf sitt þátt í að rannsaka eiginleika hita. Hann gerði mikið af mörkum til stærðfræði kenningu um ákvörðun rótum algebraic jafna. Fourier var prófessor í greiningu á Ecole Polytechnique, framkvæmdastjóra Institute of Egyptology, var Imperial þjónustu, sem olli hrærið á þeim tíma sem framkvæmdir á veginum til Turin (undir hans forystu var tæmd af meira en 80 þúsund ferkílómetrar malaríusýkingum mýrar). Hins vegar þetta aðgerða kom ekki í veg vísindamannsins þátt í stærðfræðigreiningu. Árið 1802 var hún unnin jöfnu sem lýsir úr fjölgun hita í föstu efni. Árið 1807, vísindamaður uppgötvaði aðferð til að leysa þessa jöfnu, sem varð þekkt sem "Fourier umbreyta".

varma leiðni greining

Vísindamenn notað stærðfræðilega aðferð til að lýsa hita leiðni kerfi. A þægilegt dæmi, þar sem engri erfiðleikar við útreikningi er fjölgun varmaorku af járn hringur, einn hluti sökkt í eldi. Til að framkvæma tilraunir Fourier Red Hot hluta hringsins og jarða hann í fínum sandi. Eftir það, hitamælingamar gerðar á gagnstæðri hluta þess. Upphaflega, hita dreifingu er óreglulegur: hluta af hringnum - kalt, og hinn - heitt, milli svæða hægt er að fylgjast hvöss hitastigull. Hins vegar á hita dreifingu yfir málm yfirborð, það verður jafnari. Svo fljótlega, þetta ferli tekur mynd af sínus bylgja. Fyrsta línurit eykur smám saman og einnig minnkar vel, nákvæmlega lögmálum tilbrigði við kósínus eða sínus fall. Wave jafnaði smám saman og þar af leiðandi hitinn verður samræmdu á öllu yfirborði hringnum.

Höfundur þessarar aðferðar ráð fyrir að upphafleg dreifing er alveg óreglulegur hægt að niðurbrot í mörgum grunnskólum sínusbylgna. Hver þeirra mun hafa áfanga þess (upphafsstaða) og hámarks hitastig þess. Þannig hver Slíkar breytingar þáttur er tekinn í lágmarki til að hámarki og síðan aftur til heilum snúningi í kringum hringinn heiltölufylkjum sinnum. Component að hafa tímabil sem hét grundvallaratriði harmonic, og gildi með tveimur eða fleiri tímabilum - annað og svo framvegis. Til dæmis, stærðfræðilega aðgerð sem lýsir hámarks hitastig, áfanga eða staða kallast Fourier umbreyta á dreifingu virka. Vísindamaður kom einn hluti sem er erfitt að stærðfræði lýsingu fyrir þægilegur-til-nota tól - raðir af sínus og kósínus, að upphæð gefur fyrstu dreifingu.

Kjarni greiningu

Beita þessari greiningu í umbreytingu hita dreifingu á föstu hlut, hafa hringlaga form, stærðfræðingur ályktun að auka tímabil punktum íhlutum leiða til hratt raki þess. Þetta er greinilega sést á helstu og annarri hljómfræði. Endanleg hitinn nær tvöfalt hámarks og lágmarks gildi í einni og í fyrsta - aðeins einu sinni. Það kemur í ljós að vegalengd með hita í annarri harmonic er helmingur þess sem kjarna. Auk þess sem halli á seinni hluta verður einnig að vera brattari en fyrst. Þess vegna, þar sem meiri ákafa varmaflæðið fer ekkju lágmarks fjarlægð, þá mun þetta vera deyfðar harmonic fjórum sinnum hraðar en helstu, sem fall af tíma. Í eftirfarandi ferli verður enn hraðari. Stærðfræðingur talið að þessi aðferð gerir okkur kleift að reikna út aðferð af fyrstu dreifingu hita með tímanum.

Hringja samtímamenn

Fourier umbreyta reiknirit hefur orðið áskorun til fræðilegum undirstöðum stærðfræðinnar á þeim tíma. Í upphafi nítjándu aldar, mest áberandi vísindamenn, þar á meðal Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre og Biot ekki samþykkja fullyrðingu hans að hitastig fyrstu dreifingu niðurbrot í hluti í formi grundvallar bylgju og hærri tíðni. Hins vegar Academy of Sciences gat ekki hunsa niðurstöðurnar stærðfræðingur, og veitt honum verðlaunin fyrir kenningar um varmaleiðni laga, auk annast samanburð sína með líkamlegum tilraunum. Í Fourier nálgun, helstu andmæli er sú staðreynd að ósamfelld aðgerð er táknuð með summu nokkurra punktum aðgerðir, sem eru samfelld. Eftir allt saman, lýsa þeir springa beint og boginn línur. Contemporary vísindamaður hafði aldrei komið slíkt ástand, þegar stakra aðgerðir sem lýst er með blöndu af samfellt, ss stigs, línulega, sínus eða exhibitor. Ef að stærðfræðingur var rétt í fullyrðingum sínum, summa óendanlega röð hornaföll skal takmarkast við nákvæma hraða. Þó að slík krafa virtist fáránlegt. En þrátt fyrir efasemdir sumra vísindamanna (td Claude Navier, Sofi Zhermen) víkkaði umfang rannsókna og leiddi þá út af greiningu á dreifingu hita. A stærðfræði, á meðan, haldið áfram að þjást spurningu hvort summan af nokkrum punktum aðgerðir er lækkaður nákvæm framsetning sprengihættu.

200 ára sögu

Þessi kenning hefur þróast yfir tvær aldir, í dag það er að lokum myndast. Með the hjálpa af staðbundnum eða stundlegar aðgerðir eru brotin inn punktum hluti sem hafa tíðni, fasa og amplitude. Þessi umbreyting er fengin með því að tveimur mismunandi hjálp stærðfræðilegra aðferða,. Fyrsta þeirra er notað í tilviki þegar heimildar er samfellt fall, og annað - í tilfelli þar sem það er táknað með fjölda af stakur einstakra breytinga. Ef tjáning er fengin úr gildi, sem eru skilgreindar í aðskildum tímabilum, það er hægt að skipta í nokkra stökum punktum tíðnum tjáning - frá lægstu og þá tvöfaldast, þrefaldast, og svo framvegis ofan grundvallaratriði. Þessi upphæð er kallað Fourier röð. Ef upphafleg tjáning setur gildi hvers rauntölu, það geta vera brotinn niður í margar punktum öllum mögulegum tíðni. Það er kallað Fourier óaðskiljanlegur og ákvörðun felur í sér umbreytingu á óaðskiljanlegur virka. Óháð því hvaða aðferð til að fá umbreytingu, fyrir hverja tíðni skal tilgreina tvær tölur: amplitude og tíðni. Þessi gildi eru um innihald sem ein tvinntölu. Framsetning flókin breytur kenning ásamt Fourier umbreytingu til að framkvæma útreikninga leyft hönnun á ýmsum rafmagns hringrás, greiningu á vélrænni titring, rannsókn á Wave fjölgun vélbúnaður og annað.

Fourier umbreyta dag

Nú á dögum er rannsókn á þessu ferli snýst í grundvallaratriðum um að finna árangursríkar aðferðir til að umskipti úr aðgerð til að breyta henni aftur upp í hugann. Þessi lausn er kallað bein og andhverfa Fourier umbreyta. Hvað þýðir það? Í því skyni að ákvarða óaðskiljanlegur og gera bein Fourier umbreyta, þú getur notað stærðfræði aðferðir, en þú getur greinandi. Þrátt fyrir þá staðreynd að þegar þau eru notuð í reynd eru nokkur erfiðleika, hafa flestir heildi þegar fundist og færð í stærðfræði handbóka. Með hjálp tölulegar aðferðir er hægt að reikna tjáning, lögun sem er byggt á tilrauna gögn, fall sem heildi í töflunum vantar, og þeir eru erfitt að ímynda sér í greiningar formi.

Fyrir tilkomu útreikninga tölvuverkfræðideild slíkar umbreytingar hafa verið mjög leiðinlegur, þeir þurfa handbók framkvæmd fjölda aðgerða tölur sem byggjast á fjölda stiga sem lýsa bylgjufallsins. Til að auðvelda uppgjör í dag, það eru sérstakar áætlanir, leyft að innleiða nýjar greiningaraðferðir. Svo, árið 1965, Dzheyms Kuli og Dzhon Tyuki búin hugbúnað sem varð þekkt sem "Fast Fourier Transform". Það sparar tíma við útreikning með því að draga úr fjölda margfeldi í greiningu á ferlinum. "Fast Fourier Transform" Þessi aðferð er byggð á að skipta ferill í fjölda af einsleitum gildum sýnishorn. Samkvæmt því, er fjöldi margfeldi minnkar um helming á sama að draga úr fjölda stiga.

Sækja um Fourier umbreyta

Þetta ferli er notað á ýmsum sviðum: Í talnafræði, eðlisfræði, merki vinnsla, combinatorics, líkindafræði, dulmál, tölfræði, haffræði, ljósfræði, hljóðvistar og annarra löguð. Ríkur möguleika til notkunar þess eru byggðar á fjölda af gagnlegur lögun, sem er kölluð "Eiginleikar Fourier umbreytingu." Við skulum skoða þá.

1. The viðskipti virka er línulegt rekstraraðila og tilsvarandi eðlileg er óskipt. Þessi eign er þekkt sem Parseval setningin, eða í almennu máli, sem setningin Plansherelja eða Pontrjagin tvíhyggju.

2. The ummyndun er til baka. Þar að auki, hið gagnstæða niðurstaðan er í aðalatriðum á svipuðu formi eins og í beinni takast.

3. punktum helstu orðasambönd eru eigin þroskaðra þeirra virka. Þetta þýðir að slík framsetning skiptir jöfnuhneppi með fastastuðlum í hefðbundnum reiknisegða.

4. Samkvæmt "convolution" setningin, ferlið gerir flókna aðgerð í grunnskóla margföldun.

5. Discrete Fourier Transform getur verið fljótt hannaður í tölvu með því að nota "hratt" aðferð.

Afbrigði af Fourier-vörpunarinnar

1. Oftast hugtakið er notað til að vísa til samfellt umbreytingu, för með sér nokkurn quadratically integrable tjáningu sem summan af flóknu veldisvaxandi tjáningar með tilteknum skörpum tíðni og sveifluvídda. Þessi tegund hefur nokkrar mismunandi tegundir, sem geta verið mismunandi fastastuðlum. Samfelld Aðferðin felur í sér viðskipti borð, sem hægt er að finna í stærðfræði handbóka. Almenn mál er brotin viðskipti, þar sem þessi aðferð er hægt að hækka að viðkomandi alvöru krafti.

2. The samfelldra mælinga er alhæfing af fyrri tækni á Fourier-raðir sem skilgreind er fyrir hvers konar reglubundnar virka eða tjáning, sem fyrir hendi er tiltölulega afmörkuðu svæði og tákna þá á sem röð af sinusoids.

3. Discrete Fourier umbreyta. Þessi aðferð er notuð til að reikna fyrir vísinda útreikningur og stafræna merki vinnsla. Til að framkvæma þessa tegund af útreikning þarf að hafa hlutverk að ákvarða á ákveðinna einstaklinga stig, reglubundið eða takmörkuð svæði í stað samfelldra Fourier heildum. Merki ummyndun í þessu tilfelli er táknuð sem summu sinusoids. Notkun "hratt" aðferð gerir notkun stafrænna lausna fyrir alla verklega tilgangi.

4. gluggi Fourier er almenn sýn á klassíska aðferð. Ólíkt venjulegu lausnir þegar merki litróf er notað, sem er tekin í alhliða tilvist þessarar breytu er sérstaklega áhugaverð hér er aðeins staðbundin tíðnidreifing meðan viðhalda upprunalegu breytuna (tími).

5. The tveir-víddar Fourier umbreyta. Þessi aðferð er notuð til að vinna með tveggja vídda fylki af gögnum. Í því tilviki þá er umbreytingu er framkvæmd í eina átt, og síðan - í hinu.

niðurstaða

Í dag, Fourier aðferðin er ótvírætt í ýmsum sviðum vísinda. Til dæmis, í 1962 það opnaði á lögun DNA manna Helix með því að nota Fourier greiningu í tengslum við X-ray diffraction. Nýlegar kristallar áherslu á DNA trefjar, sem leiðir á myndum með því sem er fengin með röntgengeislum, sem skráð er á myndinni. Þessi mynd gaf upplýsingar um verðmæti amplitude með því að nota Fourier umbreyta þessari kristal uppbyggingu. Gögnin fasa fengin með því að bera DNA bylgjubeygjutoppa spil með spil sem fást við greiningu á svipuðum efnabyggingar. Þess vegna, líffræðingar aftur kristal uppbyggingu - upprunalega virka.

Fourier umbreyta leika stórt hlutverk í rannsókn á geimnum, eðlisfræði hálfleiðara efni og plasma, örbylgjuofn hljómburð, haffræði, ratsjá, jarðskjálftafræði og læknisskoðun.