Pendulum: tímabil og hröðun með formúlu

The vélrænni kerfi sem samanstendur af efni lið (líkamann) sem hangir á Massalaus inextensible filament (massa hennar er hverfandi í samanburði við þyngd líkamans) í samræmdu gravitational sviði, sem heitir stærðfræði pendúl (annað nafn - í oscillator). Það eru aðrar gerðir af tækjum. Í stað þess að filament þyngdarlaust stangir er hægt að nota. Pendulum geta greinilega sýna kjarnann mörgum áhugaverðum fyrirbærum. Þegar litlum amplitude titring frumkvæði er kallað harmonic.

Almennar upplýsingar um vélræna kerfi

The uppskrift af sveiflutíma á burðareiningu var breed hollensku vísindamaður Huygens (1629-1695 Gg.). Þessi samtíða Isaac Newton var mjög hrifinn af vélrænni kerfi. Árið 1656 hann skapaði á fyrstu vakt með pendúl vélbúnaður. Þeir mæla tímann með mikilli nákvæmni fyrir þeim tímum. Þessi uppfinning var stórt skref í þróun líkamlegum tilraunir og hagnýt verkefni.

Ef kólfurinn er í jafnvægi stöðu (hangandi lóðrétt), the gildi þyngdarafl kemur sparnaður vegna garn togkrafti. Íbúð Pendulum á ekki teygjanlegu garni er kerfi með tveimur stigum frelsi til samskipta. Þegar breyta bara einn hluti af því að breyta eiginleikum allra hluta hennar. Til dæmis, ef þráður er skipt út fyrír stangir, þá er þetta vélrænni kerfi aðeins 1 af því svigrúmi. Hvað þá, eiginleikar stærðfræðilega pendúl? Í þessari einföldu kerfi, undir áhrifum af reglubundnu truflun, óreiðu birtist. Í því tilviki, þegar upphengju punktur er ekki að flytja, og oscillates pendúli það er ný jafnvægi stöðu. Ef hröðum sveiflum upp og niður í vélrænni kerfi verður stöðugur "á hvolfi". Það hefur einnig nafn sitt. Það er kallað Kapitza Pendulum.

Eiginleikar kólfinn

Pendulum er mjög áhugavert eiginleika. Öll þau eru studd af vel þekktum líkamlega lögum. Tímabilið á sveiflu á burðareiningu allir annar er háð ýmsum aðstæðum, svo sem stærð og lögun af líkamanum, er fjarlægðin milli benda á fjöðrun og miðju þyngdarafl, þyngdardreifingarinnar með tilliti til þessum tímapunkti. Þess vegna er skilgreining á líkama hangandi tímabil er alveg krefjandi. Er miklu auðveldara að reikna tímabil einföldum pendúl, uppskrift sem er gefin hér að neðan. Sem afleiðing af því að fylgjast þetta mynstur er hægt að stilla á svipuðum vélrænum kerfum:

• Ef, á meðan viðhalda sömu lengd pendúlsins, frestað frá ýmsum álag, tímabilið sveiflu fá það sama, þótt vægi þeirra breytileg stórlega. Þar af leiðandi, tímabilið pendúlsins er ekki háð þyngd byrðarinnar.

• Ef kerfið byrjar að lækka í kólfsins er ekki of stór, en mismunandi sjónarhornum, það mun sveiflast með sama tíma, en á mismunandi sveifluvídd. Þó frávik frá miðju jafnvægi er ekki of miklar sveiflur í formi verður nógu nálægt harmonic. Tímabilið slíks pendúlsins ekki treysta á titringi amplitude. Þessi eign vélrænni kerfi er kallað isochronism (í grísku "Chronos" - tíma "Izosov" - jafnt).

Tímabilið einfaldri pendúl

Þessi mynd táknar náttúrulega tímabil oscillation. Þrátt fyrir flóknu mótun, ferlið sjálft er mjög einfalt. Ef lengd garn stærðfiæöilegs pendúl l og gravitational hröðun g, þetta gildi jafnt:

T = 2π√L / g

Lítil tímabil náttúrulegum sveiflum á engan hátt er ekki háð massa kólfsins og oscillation amplitude. Í þessu tilviki, eins og stærðfræði Pendulum flytur með minni lengd.

Sveiflur stærðfræðilega pendúl

Stærðfræðileg Pendulum sveiflast, sem hægt er að lýsa með einföldum mismunadrif jöfnu:

x + ω2 sin x = 0,

þar sem x (t) - óþekkt virkni (þetta angle Sveigja úr neðri stöðu jafnvægi á þeim tíma t, gefið upp í bogamálseiningum); ω - jákvæður fasti sem er ákvarðaður út frá breytum við kólfinn (co = √g / L, þar sem G - er hröðun þyngdarafl, og L - lengd einfaldan pendúl (sviflausn).

Ligning smærri hafi sveiflur nálægt jafnvægi stöðu (harmonic jafna) eins og hér segir:

x + ω2 sin x = 0

Sveifluspennur hreyfing pendúlsins

Pendulum, sem gerir litlar sveiflur, flytja sinusoid. Second röð mismunadrif jöfnur uppfyllir allar kröfur og breytur slíkri hreyfingu. Til að ákvarða slóðina sem þú þarft að stilla hraða og hnit, sem síðar ákveðið sjálfstæða fastar:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

þar sem θ ₀ - Upphafleg áfanga, A - amplitude á oscillation, ω - hringtengdur tíðni út ákvarða út frá jöfnur á hreyfingu.

Pendulum (formúla fyrir stórri sveifluvídd)

Þetta vélrænni kerfi, framkvæma sveiflur þeirra með stórum amplitude, það er háð flóknari lögum umferð. þeir eru reiknaðir samkvæmt formúlunni fyrir slíka pendúl:

sin x / 2 = u * Sn (ωt / u),

þar SN - sínus Jacobi, sem fyrir u <1 er reglubundið virka, og fyrir lítið u hún fellur með einföldum trigonometric sínus. Gildi u er ákvarðað með eftirfarandi jöfnu:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

þar sem ε = E / ml2 (ml2 - orka af pendúlsins).

Ákvörðun á ólínulegrar sveiflutíma á burðareiningu með eftirfarandi formúlu:

T = 2π / Ω,

þar sem Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - sporöskjulaga óaðskiljanlegur, π - 3,14.

kólfurinn hreyfingu á separatrix

Það kallast separatrix braut á dynamic kerfi, þar sem tvívíð fasa rúm. Pendulum færist á a non-reglulega. Í óendanlega langt benda af tími sem það lækkar úr mikilli efri stöðu gagnvart núll hraða, og þá er smám saman að ná. Hann hætti að lokum, aftur í upphaflega stöðu.

Ef amplitude af sveiflu pendúlsins nálgast fjölda pí, er sagt að tillaga í áfanga flugvél er nálægt separatrix. Í þessu tilviki, undir aðgerð á litlu reglubundna drifkraft vélrænni kerfi sýnir óskipulegur hegðun.

Í the atburður af a einfaldur pendúls frá jafnvægi stöðu með horn cp á sér stað sem snertir afl Fτ = -mg varir sök φ þyngdarafl. "Minus" merki þýðir að snertiflötur hluti beint í gagnstæða átt frá stefnu frávik pendúlsins. Þegar vísað er í gegnum náttúrulega pendúlnum tilfærslu x tilfellinu meðfram hringlaga boga með geisla sem er L er jöfn skörpum færslubraut þess φ = x / L. Annað Lögin Isaaka Nyutona, sem ætlað er til af hröðun vektor og styrk gefa svo gildið:

mg τ = Fτ = -mg sin x / l

Byggt á þessu hlutfalli, það er ljóst að kólfsins er línuleg kerfi, sem afl sem hefur tilhneigingu til að fara aftur jafnvægi stöðu hennar, er ekki alltaf í réttu hlutfalli við færslubúnaðinn sem X, A sin x / L.

Aðeins þegar stærðfræði kólfurinn framkvæma litlar sveiflur, það er harmonic oscillator. Með öðrum orðum, það verður vélrænni kerfi fær um að framkvæma harmonic sveiflur. Þetta nálgun gildir fyrir næstum horn 15-20 °. Pendulum með stórri sveifluvídd er ekki jafnvægi.

Lögmál Newtons fyrir lítil sveiflur pendúlsins

Ef vélrænni kerfi virkar litlar sveiflur, lögmál 2nd Newtons mun líta svona út:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Á þessum grundvelli getum við gert til þess að snertiflötur hröðun einfaldan pendúl er í réttu hlutfalli við tilfærslu hennar með skilti "mínus". Þetta er ástand þar sem kerfið verður harmonic oscillator. Module í réttu hlutfalli þáttur milli tilfærslu og hröðun jafngildir veldi af horntíðnin:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Þessi uppskrift endurspeglar náttúrulega tíðni litlum sveiflum þessa tegund af Pendulum. Á þessum grundvelli,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Útreikningar byggjast á lögum um varðveislu orku

Fasteignir oscillating Pendulum hreyfingar getur verið lýst með hjálp lögum um varðveislu orku. Það ætti að hafa í huga að hugsanlega orka pendúlsins í gravitational sviði er:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full vélrænni orku er jafn hreyfiorku og hámarks möguleika: Epmax = Ekmsx = E

Eftir að þú hefur skrifað lögmál varðveislu orku, taka afleiðu af vinstri og hægri hliðar jöfnunnar:

Ep + Ek = const

Þar sem afleiða af sambandinu Fastar er jafnt og 0, þá (Ep + Ek) '= 0. The afleiða af summu jafngildir samanlögðu á afleiðunum samkvæmt:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2V * v '= MV * α,

því:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Byggt á síðasta formúlu, finnum við: α = - g / L * x.

Beitingu stærðfræðilegum kólfsins

Hröðun á frjálsu falli breytileg með breiddargráðu, vegna þéttleika skorpu í kringum jörðina ekki eins. Þar steinum fram með meiri þéttleika, verður það að vera örlítið hærri. Hröðun stærðfræði pendúlsins er oft notuð til að rannsaka. Í help útlit fyrir mismunandi steinefni. Einfaldlega telja fjölda sveiflum pendúl, það er hægt að greina kol eða málmgrýti í innyfli jarðar. Þetta er vegna þess að þessar auðlindir hafa þéttleika og þyngd meira en liggjandi undir laus steina.

Stærðfræðileg Pendulum slíkir áberandi fræðimenn og Sókrates, Aristóteles, Platon, Plútarkos, Arkímedes. Margir þeirra töldu að vélrænni kerfi getur haft áhrif á örlög og líf. Arkímedes notaði stærðfræðilega kólfsins með útreikningum hans. Nú á dögum, margir occultists og psychics nota þetta vélrænni kerfi fyrir framkvæmd spádómar hennar, eða í leit að vantar fólk.

The frægur franskur stjörnufræðingur og vísindamaður, Flammarion fyrir rannsóknum sínum notaði einnig stærðfræðilega pendúl. Hann hélt því fram að með hjálp hans að hann var fær um að spá fyrir um uppgötvun nýrri plánetu, tilkomu Tunguska loftsteinninn, og önnur mikilvæg viðburði. Á seinni heimsstyrjöldina í Þýskalandi (Berlin) starfaði sem sérhæfa stofnun kólfsins. Nú á dögum, slíkar rannsóknir er ekki í boði München Institute of Dulsálarfræði. verk hans með kólfsins starfsmenn þessarar stofnunar sem kallast "radiesteziey".