Jöfnun á flugvélinni: hvernig á að setja saman? Gerðir af jöfnum flugvélum

Planið pláss er hægt að skilgreina á mismunandi vegu (eitt punktur og vektor, vektor og tveir stig, þremur stigum, o.fl.). Það er með þetta í huga, planið jöfnu getur haft mismunandi tegundir. Einnig undir vissum skilyrðum plani kunna að vera samsíða, hornréttur, sker, o.fl. Á þessu og mun tala í þessari grein. Við munum læra að gera almenna jöfnu flugvél og ekki eini.

Hefðbundinni form af jafna

Gerum ráð fyrir R er pláss _3, sem hefur rétthymt hnitakerfi XYZ. Við skilgreinum vigurs α, sem kemur út frá upphafið O. Með lok vektor a draga planið P sem er hornrétt á það.

Táknum P á handahófskennda lið Q = (x, y, z). Radíus vektor punktinum Q merki bréfi bls. Lengd ferju utan jafngildir bls a = IαI og Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Þessi eining vektor, sem er beint í átt og vektor a. α, β og γ - eru horn sem myndast á milli vektomum og jákvæðra áttir Ʋ rúm ása x, y, z hver um sig. Framskot punkt á vektor QεP Ʋ er fasti sem er jafnt og p (p, Ʋ) = P (r≥0).

The jöfnunni hér að framan er þýðingarmikið þegar p = 0. Eina n planið í þessu tilfelli, væri yfir punkt O (α = 0), sem er uppruni, og eining vektor Ʋ, út frá þeim punkti O verður að vera hornrétt hana br, enda þótt stefna hennar, sem þýðir að genaferjan Ʋ ákvarðað upp að skilti. Fyrri jafna er planið P okkar, gefið upp í formi vektor. En í ljósi hnit hennar er:

P er meiri en eða jafnt og 0. Við höfum fundið flugvél jöfnu í eðlilega mynd.

The Almenna jafnan

Ef dæmið í hnit margfalda með hvaða fjölda sem er ekki jafn núlli, fá við jöfnuna jafngildir þetta sem skilgreinir mjög flugvél. Það mun hafa eftirfarandi form:

Hér, A, B, C - er fjöldi samtímis frábrugðin núlli. Þessi jafna er kölluð jöfnu af almennu formi flugvél.

Jöfnur af flugvélum. sérstök tilvik

Jafnan er yfirleitt hægt að breyta með frekari skilyrði. Íhuga sumir af þeim.

Gerum ráð fyrir að stuðullinn a er 0. Þetta gefur til kynna að plani sem er samsíða á fyrirfram ákveðna ás Ox. Í þessu tilviki er form af the jafna breytingar: Wu + Cz + D = 0.

Á sama hátt, í formi jöfnu og mun breytast með eftirfarandi skilyrðum:

• Í fyrsta lagi, ef B = 0, gildir þessi jafna breytingar á ax + cz + d = 0, sem myndi gefa til kynna parallelism við öxul Oy.
• Í öðru lagi, ef C = 0, gildir þessi jafna er umbreytt í ax + by + o = 0, það er að segja um samsíða á fyrirfram ákveðna ásinn Oz.
• Í þriðja lagi, ef D = 0, jafnan mun birtast eins ax + by + cz = 0, sem myndi þýða að vélin sker O (uppruna).
• Í fjórða lagi, ef A = B = 0, jöfnunni breytingar CZ + d = 0, sem mun reynast parallelism Oxy.
• Í fimmta lagi ef B = C = 0, gildir þessi jafna verður Ax + D = 0, sem þýðir að vélin er samsíða Oyz.
• Í sjötta lagi ef A = C = 0, gildir þessi jafna tekur formi Wu + D = 0, þ.e., mun heyra til parallelism Oxz.

Form úr jöfnunni í hluta

Í þeim tilvikum þegar tölurnar a, B, C, D frábrugðin núlli, getur form li jöfnu (0) getur verið sem hér segir:

x / a + Y / b + z / c = 1,

þar sem a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Við fáum þar af leiðandi jöfnu plansins í sundur. Það skal tekið fram að þessi flugvél mun skerast x-ásinn í Odda með hnitum (a, 0,0), OY - (0, b, 0), og Oz - (0,0, s).

Í ljósi þess að jöfnu x / a + Y / b + z / c = 1, það er ekki erfitt að sjón vistun reikistjörnunnar miðað við fyrirfram ákveðnu hnitakerfi.

Hnit Samræmdur vigur

Samræmdur vigur n þannig að þær skal planið P hefur hnit sem eru stuðlarnir með almennu jöfnu á forminu flugvél, nánar tiltekið N (A, B, C).

Í því skyni að ákvarða hnit eðlilega n, það er nóg að vita almenna jöfnu gefið flugvél.

Þegar nota þá jöfnu í hluta, sem hefur formið x / a + Y / b + z / c = 1, eins og þegar notkun á almennu framleiðsluaðferðinni jöfnunni Hægt er að skrifa hnit og allir eðlilega vigurs a gefið plan: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Það skal tekið fram að eðlilegt vektor hjálpa til við að leysa ýmis vandamál. Algengustu vandamál eru sem felst í að færa sönnur hornréttra eða samsíða flugvélar, það verkefni að finna hornin milli plana eða hornin milli flugvélar og beinar línur.

Tegund skv plani jöfnu og hnit í lið Samræmdur vigur

A frábrugðnar núlli vigur n, hornrétt til tiltekins flugvél, sem kallast eðlileg (venjulegt) fyrir fram ákveðnu flugvél.

Gerum ráð fyrir að í samræma rúm (rétthyrnt hnitakerfi) Oxyz sett:

• Mₒ benda með hnitum (hₒ, uₒ, zₒ);
• núll vektor n = A * i + B * j + C * K.

Þú þarft að gera jöfnu flugvél sem fer í gegnum Mₒ benda þvert á venjulegan n.

Í það rými sem hann valið hvaða handahófskennt punkt og tákna M (x, y, z). Let geislann vektor af hvem blett M (x, y, z) verða r = x * I + y * J + z * K, og radíus vektor punkts Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * J + zₒ * k. Aðalatriðið M mun tilheyra til tiltekins flugvél, ef vektorinn MₒM vera þvert á vektor n. Við skrifa ástand orthogonality með því að nota Innfeldi:

[MₒM, n] = 0.

Þar sem MₒM = R-rₒ, getur vektorinn jöfnu flugvél mun líta svona út:

[R - rₒ, n] = 0.

Þessi jafna er einnig að hafa aðra lögun. Í þessu skyni, eiginleikar Innfeldi og breytt á vinstri hlið jöfnunnar. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ef [rₒ, n] táknað sem S, fá við eftirfarandi jöfnu: [r, n] - a = 0 eða [R, n] = S, sem tjáir að stöðugleiki hinnar vörpuninni á eðlilegri vigurs af geisla-vektor af gefnu punktanna sem tilheyra flugvél.

Nú er hægt að fá upplýsingar um hnit gerð upptöku flugvélin vektor jöfnu vor [r - rₒ, n] = 0. sem R-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * K, og n = A * i + b * J + C * K, höfum við:

Það kemur í ljós að við höfum jafnan myndast plan í gegnum punktinn hornrétt á eðlilegu n:

A * (x hₒ) + B * (Y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Tegund skv plani jöfnu og hnit tveggja punkta á vektor flugvél collinear

Við tilgreint tvo handahófi koma punkta M '(x' + y '+ z') og M "(X", y ", Z"), sem og af ferjunni (A ', A ", a ‴).

Nú getum við skrifað jöfnuna fyrirfram ákveðið plan sem liggur í gegnum það sem punktinn M "og m", og hvert við hnit M (x, y, z) samhliða við ákveðinni genaferju.

Þannig M'M vektorar x = {x ', y-y'; ZZ '} og M "M = {x" -X' + y '+ y' +; Z "-Z '} ætti að vera coplanar með genaferjunni, sem a = (a ', a ", a ‴), sem þýðir að (M'M M" M, a) = 0.

Svo jafna okkar flugvél í rúm mun líta svona út:

Tegund flugvél jöfnu, yfir þrjú stig

Segjum að við höfum þrjá punkta: (x '+ y', Z '), (x' y 'z'), (x ‴ Hafa ‴, z ‴), sem tilheyra ekki sömu línu. Það er nauðsynlegt að skrifa jöfnu planið sem liggur í gegnum þrjú stig sem tilgreind. Rúmfræði kenning heldur því fram að þessi tegund af flugvél er fyrir hendi, það er bara einn og aðeins. Þar sem þetta flötur sker punktinn (x '+ y' + z '), jafna form þess væri:

Hér, A, B, og C eru frábrugðin núlli á sama tíma. Einnig sker gefin plan tvö fleiri stig (x ", y", Z ") og (x ‴, Y ‴, Z ‴). Í þessu sambandi skal fara fram þessa tegund af skilyrðum:

Nú getum við búið samræmda kerfi jöfnur (línuleg) með óþekktum u, v, w:

Í tilviki x okkar, y eða Z stendur handahófskennt lið sem uppfyllir jöfnu (1). Miðað jöfnu (1) og jöfnuhneppis (2) og (3) um kerfi jöfnur gefin eru upp í myndinni hér að framan, getur vektorinn uppfyllir N (A, B, C) sem er nontrivial. Það er vegna þess að ákveða kerfisins er núll.

Jafna (1) sem við höfum fengið, þetta er jafna flugvél. 3 lið sem hún fer í raun, og það er auðvelt að athuga. Til að gera þetta, auka við ákveðu af þeim þáttum í fyrstu röðinni. Af núverandi eiginleika, ákvarðandi Af þessu leiðir að flugvélin samtímis sker þrjú upphaflega fyrirfram ákveðinn stað (x '+ y' + z '), (x ", y", Z "), (x ‴, Y ‴, Z ‴). Þannig að við ákváðum að verkefni fyrir framan okkur.

Vænghalla hornið milli plana

Vænghalla hornið er rýmislega rúmmyndarinnar mynduð af árshelminga með vélar sem eru streyma út frá beinni línu. Með öðrum orðum, hluti af því plássi sem er takmörkuð við hálfrar flugvélum.

Segjum sem svo að við höfum tvær flugvél með eftirfarandi jöfnum:

Við vitum að vektor N = (A, B, C) og N¹ = (A¹, H¹, S¹) samkvæmt fyrirfram ákveðnum plan eru hornrétt. Í þessu sambandi hornið φ milli ferjum N og N¹ jafn horn (Vænghalla), sem er staðsett á milli þessara sviða. The Innfeldi er gefið með:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

einmitt vegna þess að

cosφ = NN¹ / | n || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Það er nóg að huga að 0≤φ≤π.

Í raun tvö til vélar skerist, í tveimur hornið (vænghalla): φ ₁ og φ _2. summa þeirra er jafnt og π (φ ₁ + φ ₂ = _taka π). Eins og fyrir cosines þeirra eru alger gildi þeirra jöfn, en þeir eru mismunandi merki, það er, cos φ ₁ = -cos φ _2. Ef í jöfnu (0) er skipt út fyrir A, B og C við -A, -B og -C í sömu röð, í jöfnuna, við fá, mun ákvarða sama plani, eina horn φ í jöfnu cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Það verður skipt út með π-φ.

Jafna hornrétt flugvél

Kallast hornrétt flugvél, á milli sem hornið er 90 gráður. Notkun á efni kynnt hér að ofan, við getum fundið jöfnu plani hornrétt á aðra. Segjum að við höfum tvær flugvélar: ax + by + cz + D = 0, og + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Við getum sagt að þeir séu hornrétt ef cos = 0. Þetta þýðir að NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Jafna samsíða flugvél

Það getur tveggja hliðstæðra plönum sem innihalda engin stig í sameiginlegt.

Ástand samhliða flugvélum (jöfnur þeirra eru þau sömu og í fyrri málsgrein) er að línurnar N og N¹, sem eru hornrétt við þá, collinear. Þetta þýðir að eftirfarandi skilyrði séu uppfyllt meðalhóf:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ef hlutfallstölur hugtök eru stækkað - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Þetta bendir til þess að þau gögn plani sama. Þetta þýðir að jafna ax + by + cz + d = 0 og + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 lýsa eitt plan.

Fjarlægðin frá benda til plan

Segjum sem svo að við höfum planið P, sem er gefið með því að (0). Það er nauðsynlegt að finna fjarlægð frá þeim stað með hnitum (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Þú þarft að koma á jöfnu í flugvél II eðlilega útliti til að gera það:

(Ρ, v) = P (r≥0).

Í þessu tilviki, ρ (x, y, z) er radíus vektor punktsins Q okkar, sem staðsett er á n p - n er lengd hornrétt, sem kom út úr núll punkt, v - er eining vektor, sem er komið fyrir í átt a.

Munurinn ρ-ρº radíus vektor punkts Q = (x, y, z), sem tilheyra n og radíus vektor af ákveðnum tímapunkti Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) er svo vektor, hefur minni algilda ofanvarp sem á V jafngildir fjarlægð d, sem er nauðsynlegt til að finna úr Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) til P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, en

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Svo kemur í ljós,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nú er ljóst að til þess að reikna út fjarlægð d frá ₀ til Q planið P, það er nauðsynlegt að nota venjulegan view flugvél jöfnu, breyting vinstra megin við p, og síðasti staður x, y, z í staðinn (hₒ, uₒ, zₒ).

Þannig finnum við algildi leiðir tjáningu sem er krafist d.

Notkun breytur tungumál, fáum við hið augljósa:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ef tilgreint er lið Q ₀ er á hinum megin á planið P sem upphaf, þá á milli um vigurinn ρ-ρ ⁰ og v er An gleiðhyrndur horn, þannig:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Í tilviki þegar lið Q ₀ í tengslum við uppruna staðsett á sömu hlið U, bráðum horn er búið, það er:

d = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Niðurstaðan er sú að í fyrra tilfellinu (ρ ^0, v)> p, í seinni (ρ ^0, v)

Og þess snertill plan jöfnu

Um flugvél á yfirborðið á þeim stað tangency Mº - plan sem inniheldur allar mögulegar snertiflöt ferlinum dregin í gegnum punktinn á yfirborðinu.

Með þessu yfirborði mynd af jöfnunni F (x, y, z) = 0 inni í jöfnu snertils plani sem snertir lið Mº (hº, uº, zº) myndi vera:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Ef yfirborðið er stillt skýrt Z = f (x, y), þá snertill flugvél er lýst með jöfnunni:

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + F (hº, uº) (y uº).

Gatnamótum tveggja plana

In þrívítt rúm er hnitakerfi (rétthyrnd) Oxyz, gefin tvö flugvélar P 'og P' sem skarast og ekki saman. Þar sem allir plani, sem er í rétthyrningslaga hnitakerfi skilgreind með hinni almennu jöfnuna, gerum ráð fyrir að n 'og n "eru skilgreindar eru af jöfnunum A'x + V'u S'z + + D' = 0 og A" + B x '+ y Með "z + D" = 0. Í þessu tilviki höfum við eðlilega n '(A', B ', c') af planið P 'og eðlilegum n "(a", B ", C") af planið P'. Sem flugvélin er ekki samsíða og ekki saman, þá eru þessir vigrar eru ekki collinear. Notkun tungumál stærðfræði höfum við þetta ástand Hægt er að skrifa sem: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (X * og", λ * í ", λ * C"), λεR. Láttu bein lína sem liggur á mótum P 'og P ", verður táknað með bókstafnum A, í þessu tilfelli = P' ∩ P".

og - línu sem samanstendur af fjölda af punktum (algengar) flugvélar P 'og P'. Þetta þýðir að hnit hvaða stað sem tilheyra línu a, verða samtímis fullnægja jöfnuna A'x + V'u S'z + + D '= 0 og A "x + B' + CI; Y" Z + D "= 0. Þetta þýðir að hnit þeim stað verður sérstaklega lausn af eftirfarandi jöfnum:

Niðurstaðan er sú að lausn (heildar) af þessu kerfi jöfnur mun ákvarða hnit hvert stig á línunni sem mun starfa sem skurðpunkti P 'og P ", og ákveða línu í hnitakerfi Oxyz (rétthyrnd) pláss.