Hvað er reikningur? Helsta setningin af reikningum. Tvöfaldur tölur

Hvað er reikningur? Hvenær byrjaði mannkynið að nota tölur og vinna með þeim? Hvar eru rætur slíkra algengra hugtaka, eins og tölur, brot, frádráttur, viðbót og margföldun, hver maður hefur óaðskiljanlegur hluti af lífi sínu og heimssýn? Forngrísk hugsun dáði slíkum vísindum eins og stærðfræði, tölfræði og rúmfræði, sem fallegustu einkenni mannlegrar rökfræði.

Kannski er reikningur ekki eins djúpur og önnur vísindi en hvað hefði gerst við þá, gleymdu grunnskammtinum margföldunar? Venjulega rökrétt hugsun, með tölum, brotum og öðrum verkfærum, var ekki auðvelt að gefa fólki og í langan tíma var ekki í boði fyrir forfeður okkar. Í raun, fyrir þróun reikninga, ekkert svæði mannlegrar þekkingar var sannarlega vísindaleg.

Bókhald er stafrófið í stærðfræði

Tölur eru tölfræðilegar tölur sem einstaklingur byrjar að kynnast heillandi heimi stærðfræði. Eins og M. Lomonosov sagði, tölur er hliðin á námsstyrk, sem opnar okkur leið til þekkingar heimsins. En hann er réttur, getur þekkingu heimsins aðskilið frá þekkingu á tölum og bókstöfum, stærðfræði og ræðu? Kannski í gamla daga, en ekki í nútíma heimi, þar sem hraðri þróun vísinda og tækni ræður lögum sínum.

Orðið "arithmetic" (gríska "arithmos") af grísku uppruna þýðir "númer". Hún rannsakar númerið og allt sem hægt er að tengja við þau. Þetta er heimur tölur: mismunandi aðgerðir á tölum, tölulegum reglum, leysa vandamál sem fela í sér margföldun, frádrátt, og svo framvegis.

Það er almennt viðurkennt að reikningur er upphafsstærð stærðfræði og traustan grunn fyrir flóknari hluti þess, svo sem algebru, matgreiningu, hærri stærðfræði og svo framvegis.

Megintilgangur reiknings

Grundvöllur reiknings er heiltala þar sem eiginleikar og reglur eru taldar í hærri reikninga eða tölfræðilegu kenningum. Reyndar er styrkur alls byggingarinnar - stærðfræði veltur á hversu vel rétta nálgun er tekin við að íhuga slíkt lítið blokk sem eðlilegt númer.

Þess vegna er spurningin um hvað er hægt að svara einfaldlega: það er vísindi tölanna. Já, um venjulega sjö, níu og allt þetta fjölbreytt samfélag. Og rétt eins og þú getur ekki skrifað góða og miðlungs ljóð án grunnskáldsagnar, án arðseminnar, getur þú ekki leyst jafnvel grunnvandamál. Þess vegna hefur öll vísindi háþróað aðeins eftir þróun reikninga og stærðfræði, að vera fyrir alla bara nokkrar forsendur.

Bókhagfræði - phantom vísindi

Hvað er tölur - náttúruvísindi eða phantom? Reyndar, eins og forngrísir heimspekingar sögðu, eru engar tölur eða tölur í raun. Þetta er bara phantom sem er búið til í hugsun manna þegar miðað er við umhverfið með ferlum sínum. Reyndar, hvað er tala? Hvergi í kringum sjáum við neitt svoleiðis, sem gæti verið kallað tala, frekar er fjöldi leið mannlegrar hugar að læra heiminn. Og kannski er þetta rannsókn á okkur innan frá? Heimspekingar hafa rætt þetta um margar aldir í röð, þannig að við gerum ekki tæmandi svar. Einhvern veginn tókst tölur að taka stöðu sína svo vel að í heiminum í dag er enginn hægt að líta á sem félagslega aðlöguð án vitneskju um grundvöll þess.

Hvernig kom eðlilegt númer fram

Auðvitað er aðalhluturinn sem rekin er af tölum eðlilegt númer, eins og 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... o.fl. Reikningur náttúrulegra tölva er afleiðing af því að telja venjulegan hlut, til dæmis kýr í engi. Enn, skilgreiningin á "mikið" eða "lítið" hætti einu sinni að henta fólki, og ég þurfti að finna betri aðferðir við að telja.

En alvöru bylting gerðist þegar mannleg hugsun komst að þeirri niðurstöðu að hægt sé að tákna með sama fjölda "2" 2 kíló, 2 múrsteinar og 2 hlutar. Staðreyndin er sú að þú þarft að draga frá formum, eiginleikum og merkingu hlutanna, þá getur þú gert nokkrar aðgerðir með þessum hlutum í formi náttúrulegra tölur. Þetta var hvernig tölur tölunnar voru fæddir, sem þróuðu og stækkuðu enn frekar og hófu sífellt stærri stöðu í samfélagslífi.

Slíkar ítarlegar hugmyndir um tölur sem núll og neikvætt númer, brot, númerheitingar í tölum og á annan hátt, hafa ríkan og áhugaverð þróunarsögu.

Ræddu og hagnýtar Egyptar

Tveir af elstu manna félagar í rannsókninni á nærliggjandi heimi og leysa daglegu vandamál eru reiknirit og rúmfræði.

Talið er að saga reikninga sé upprunnin í Austur-Ancient: á Indlandi, Egyptalandi, Babýlon og Kína. Þannig, Papyrus Rinda af Egyptian uppruna (nefndur svo, vegna þess að það átti eiganda með sama nafni), dagsett í XX öld. BC, að undanskilinni öðrum verðmætum gögnum inniheldur niðurbrotið eitt brot með summan af brotum með mismunandi merkingartækjum og tölufræðinni jafnt og einn.

Til dæmis: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

En hvað er svona flókið niðurbrot? Staðreyndin er sú, að egypska nálgunin þola ekki áfengið hugsun um tölur, þvert á móti voru útreikningar aðeins gerðar til hagnýtingar. Það er, Egyptian mun takast á við slíkt sem útreikninga, eingöngu til að byggja upp grafhýsi, til dæmis. Það var nauðsynlegt að reikna lengd brúnar uppbyggingarinnar, og þetta neyddi manninn til að setjast niður fyrir papyrus. Apparently, Egyptian framfarir í útreikningum var valdið, frekar með miklu, byggingu, fremur en ást vísinda.

Af þessum sökum er ekki hægt að nefna útreikninga sem finnast á papyri um brot. Líklegast er þetta hagnýt innkaup, sem hjálpaði í framtíðinni að leysa vandamál með brotum. Forn Egyptar, sem ekki þekktu margföldunartöflurnar, framleiddu frekar langar útreikningar, sundrast í margar undirverkefni. Kannski er þetta ein af þessum undirfærslum. Það er ekki erfitt að sjá að útreikningar með slíkum efnum eru mjög laborious og lítið horfur. Kannski, af þessum sökum sjáum við ekki hið mikla framlag Forn Egyptalands að þróun stærðfræðinnar.

Ancient Greece og Philosophical Arithmetic

Mörg þekkingu á Austur-Ancient hefur verið tekist að ná góðum tökum af fornu Grikkjum, þekktum elskhugum af abstraktum, abstraktum og heimspekilegum hugleiðingum. Æfing þeirra var ekki síður áhugavert, en erfitt er að finna bestu fræðimenn og hugsuðir. Þetta hefur notið góðs af vísindum, því það er ómögulegt að kafa í reikning án þess að brjóta það með raunveruleikanum. Auðvitað getur þú fjölgað 10 kýr og 100 lítra af mjólk, en það verður ekki hægt að fara langt.

Hugsunin djúpt, Grikkir skildu verulegan merki í sögunni og skrif þeirra hafa náð okkur:

• Euclid og "Beginning."
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zeno.
• Anaxagoras.

Og, auðvitað, Grikkirnir snúa öllu í heimspeki, og sérstaklega framhaldsmenn Pythagoríu-málsins, voru svo ánægðir með tölur sem þeir töldu þá vera leyndardómur sáttarinnar um heiminn. Tölurnar hafa verið svo rannsakaðar og rannsakað að sumir þeirra og pör þeirra hafa verið reknar sérstökum eiginleikum. Til dæmis:

• Fullkomin tölur eru þeir sem eru jafngildir summan af öllum deilum sínum, nema fyrir sjálfan sig númerið (6 = 1 + 2 + 3).
• Vingjarnleg tölur eru tölur, einn þeirra er jöfn summu allra divisors annars og öfugt (Pythagoreans vissu aðeins eitt slíkt par: 220 og 284).

Grikkir, sem trúðu því að vísindi þurfti að vera elskaður, og ekki að vera með henni fyrir hagnaðinn, náði miklum árangri, kannaði, leika og bæta við tölum. Það skal tekið fram að ekki hafa allir niðurstöður þeirra fundist víðtæk umsókn, sum þeirra voru aðeins "fyrir fegurð."

Austurhugsarar á miðöldum

Á sama hátt, á miðöldum, er arðmetið skylt að þróa til Austur samtímalista. Indverjar gáfu okkur tölur sem við erum að nota virkan, svo sem hugtakið "núll" og staðsetningarútgáfu reikningskerfisins sem þekkir nútíma skynjun. Frá al-kasha, sem starfaði í Samarkand á 15. öld, arfðum við afmarkanir, án þess að erfitt er að ímynda sér nútíma reikninga.

Á margan hátt varð kunnáttu Evrópu við árangur Austurlands möguleg þökk sé verk Ítalíu vísindamannsins Leonardo Fibonacci, sem skrifaði bókina "The Abacus Book", sem kynnti Austur nýjungar. Það varð grundvöllur þróunar algebru og arðsemi, rannsókna og vísinda í Evrópu.

Rússneska reikningur

Og að lokum, reikningur, sem fann stað sinn og rætur í Evrópu, byrjaði að breiða út til rússlands landa. Fyrsta rússneska reikningurinn var gefin út árið 1703 - það var bók um reikninginn Leonty Magnitsky. Í langan tíma var það eina kennslubókin um stærðfræði. Það inniheldur fyrstu stundir algebra og rúmfræði. Tölur, sem notuð voru í dæmunum fyrsta í Rússlandi kennslubók af tölum, arabísku. Þrátt fyrir að arabísku tölurnar hafi komið upp áður á engravings frá 17. öld.

Bókin sjálf er skreytt með myndum af Archimedes og Pythagoras, og á fyrstu lakinu - myndin af reikningi í formi konu. Hún situr í hásætinu, undir er ritað á hebresku orðið orðin sem heitir nafn Guðs og á stígunum sem leiða til hásætisins eru orðin "deild", "margföldun", "viðbót" osfrv. Rituð osfrv. Eitt má aðeins ímynda sér mikilvægi svikið Slík sannindi, sem nú eru talin algeng.

Kennslubók um 600 síður lýsir bæði grunnatriðum eins og viðbót og margföldunartöflu og umsóknir á siglingarvísindum.

Það er ekki á óvart að höfundur valdi myndir af grískum hugsuðum fyrir bók sína, því að hann var sjálfur hrifinn af fegurð reikninga og sagði: "Ræðismaður er tónskáld, heiðarlegur, óskorinn listur ...". Þessi nálgun við tölur er fullkomlega réttlætanleg vegna þess að hún er útbreidd kynning sem hægt er að líta á sem upphaf hraðrar þróunar vísindalegrar hugsunar í Rússlandi og almennri menntun.

Óþarfa forsætisnúmer

Helsta númerið er eðlilegt númer sem hefur aðeins 2 jákvæða divisors: 1 og sig. Öll önnur tölur, sem ekki telja 1, kallast samsett. Dæmi um lykilnúmer: 2, 3, 5, 7, 11, og allir aðrir sem hafa ekki aðra deildarmenn, nema númer 1 og sjálfan þig.

Að því er varðar númer 1 er það á sérstökum reikningi - það er sannfæring um að það verður að teljast hvorki einfalt né flókið. Einföld við fyrstu sýn einfalt númer leynir mikið af óleystum leyndardómi innan sjálfan þig.

Stuðningur Euclids segir að blómasetningar séu óendanlega settar og Eratosthenes komst upp með sérstökum reikningsskila "sigti" sem skilar óþægilegum tölum og skilur aðeins einföld.

Kjarni þess er að leggja áherslu á fyrsta, undirstrikaða númerið og í framtíðinni til að eyða þeim sem eru margar til þess. Við endurtaka þessa aðferð mörgum sinnum og fáðu töflu af aðaltalum.

Helsta setningin af reikningum

Meðal athugana á aðalnúmerum þurfum við að nefna á sérstakan hátt grundvallaratriði reiknings.

Grundvallaratriði reikningsins segir að allir heilar sem eru hærri en 1 er annað hvort einföld eða hægt er að sundrast í vöru af prímum í röð þáttanna á einstaka hátt.

Helstu sögn reikningsins er reynst frekar fyrirferðarmikill og skilningur hennar er ekki lengur líkur til einfaldasta grundvallar.

Við fyrstu sýn eru frumkvöðlar grunnskoðanir, en þetta er ekki svo. Eðlisfræði talaði einu sinni um atóm grunninn, þangað til það fann alla alheiminn inni í henni. Hin fallega saga af stærðfræðingnum Don Tsagir "Fyrstu fimmtíu milljón blómasalar" er helgað aðalatriðum.

Frá "þremur eplum" til frádráttarlaga

Það sem sannarlega er hægt að kalla á styrktan grunn allra vísindanna er lögmál reiknings. Sem börn, allir standa frammi fyrir tölur, læra fjölda fótleggja og penna í dúkkur, fjölda teninga, eplum osfrv. Við lærum því að reikna, sem fer á flóknari reglur.

Allt líf okkar viðurkennir okkur reglur reikninga, sem hafa orðið fyrir sameiginlega manninn sem er gagnlegur af öllu sem vísindi gefa. Rannsóknin á tölum er "arðsemi-elskan", sem kynnir mann í heiminn tölur í formi tölur í byrjun barns.

Hærri reikningur er deductive vísindi sem rannsakar lögmál reikninga. Flestir þeirra sem við vitum, þótt kannski vitum við ekki nákvæmlega samsetningar þeirra.

Lög um viðbót og margföldun

Öll tvö náttúruleg tölur a og b geta verið gefin upp sem + b, sem einnig er eðlilegt númer. Að því er varðar viðbótina gilda eftirfarandi lög:

• A commutative einn sem segir að summan breytist ekki frá permutation summands á stöðum, eða a + b = b + a.
• Associative , sem segir að summan treystir ekki á því að sameina summanna á stöðum, eða a + (b + c) = (a + b) + c.

Reglurnar um reikninga, svo sem viðbót, eru nokkrir af grunnskólum, en þau eru notuð af öllum vísindum, svo ekki sé minnst á daglegt líf.

Öll tvö náttúruleg tölur a og b geta verið gefin upp í vörunni a * b eða * b, sem er einnig eðlilegt númer. Sama gildandi og tengdir lög gilda um vöruna um viðbótina:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

Það er athyglisvert að það sé lög sem sameina viðbót og margföldun, einnig kallað dreifandi eða dreifandi lög:

A (b + c) = ab + ac

Þessi lög kennir okkur í raun að vinna með sviga, sýna þeim, þannig að við getum unnið með flóknari formúlur. Þetta eru einmitt þau lög sem leiða okkur í gegnum undarlegt og flókið heim algebra.

Lögmál reikningsskila

Lögmálið notar mannleg rökfræði á hverjum degi, samanburður á klukka og talningu víxla. Og engu að síður, og það þarf að vera formlegt í formi steypu samsetningar.

Ef við höfum tvær náttúrulegar tölur a og b, þá eru eftirfarandi valkostir mögulegar:

• A er b, eða a = b;
• A er minna en b, eða
• A er meiri en b, eða> b.

Af þeim þremur valkostum getur aðeins einn verið sanngjarn. Grunnlagið sem stjórnar röð segir: ef

Það eru einnig lög sem tengja röð við aðgerðir margföldun og viðbót: ef

Löggjafareglur kenna okkur að vinna með tölum, táknum og sviga, snúa öllu í samræmda táknmáli tölum.

Stöðu- og nonpositional kerfi við útreikning

Við getum sagt að tölur séu stærðfræðileg tungumál, frá þeim þægindum sem mikið veltur á. Það eru mörg kerfi reikna, sem, eins og stafróf mismunandi tungumála, eru frábrugðin hver öðrum.

Íhuga fjölda kerfi frá the benda af stöðum áhrif á tölulegum gildi tölustaf í þessari stöðu. Til dæmis, Roman kerfið er nonpositional þar sem hver tala er umrita í dulmál með tilteknu mengi sértákn: I / V / X / L / C / D / M. Þeir eru, í sömu röð, tölurnar 1/5/10/50/100/500 / 1000. Í þessu kerfi, að tala breytist ekki magnbundnar ákvörðun sína, eftir því á hvaða stöðu það ætti: .. Fyrsta, annað, osfrv til að fá aðrar tölur, það er nauðsynlegt að mæla fyrir um stöð. Til dæmis:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Fleiri kunnugleg okkur tölustafur kerfi using arabískum tölustöfum er afstöðu. Í slíku kerfi er fjöldi útskrift skilgreinir fjölda tölustafa, til dæmis, þriggja stafa tölur: 333, 567, o.fl. Þyngd samkvæmt einhverri af losun veltur á stöðu á þar sem myndin er einn eða annan, Ld mynd 8 í annarri stöðunni, sem hefur gildið 80. Með Það er einkennandi fyrir tugakerfið, there ert annar stillingareiningin kerfi svo sem eins tvöfaldur.

tvíundarkerfinu

Við þekkjum tugakerfið, sem samanstendur af einum bita og multi-bita tölur. Myndin til vinstri í stafa tala er tíu sinnum meiri í máli til einn á hægri. Svo notuðum við til að lesa 2, 17, 467, og svo framvegis. D. Það er annað rökfræði og nálgun kafla, sem heitir "tvíundarkerfinu." Þetta er ekki á óvart, vegna þess að tvíundarkerfinu er ekki búin að manna rökfræði, og fyrir tölvuna. Ef tölur af tölum upprunnið úr talningu, sem frekar nýtt er úr efni hótelinu til að "nakinn" stærðfræði, þá er þetta mun ekki virka með tölvunni. Að vera fær um að deila þekkingu sinni með tölvuna, maður þurfti að finna líkan útreikninga.

Tvíundarkerfinu vinnur með tvöfaldur stafrófinu, sem samanstendur aðeins af 0 og 1. Og notkun þessarar stafrófinu er kallað tvöfaldur kerfi.

Ólíkt tvíundarkerfinu aukastaf að mikilvægi stöðu vinstri eru ekki lengur 10, og 2 sinnum. Tvöfaldur tölur eru á forminu 111, 1001 og svo framvegis. D. Hvernig eigum við að skilja þessar tölur? Þannig teljum við fjölda 1100

1. Fyrsti stafa á vinstri - 1 * 8 = 8, með það í huga að fjórða stafa, sem þýðir að það verður að margfalda með 2, fáum við 8 stöðu.
2. Second stafa 1 * 4 = 4 (staða 4).
3. Þriðja stafa 0 * 2 = 0 (stöðu 2).
4. Fjórða stafa 0 * 1 = 0 (staða 1).
5. Svo tala okkar 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Það er, við umskipti til a nýr flokk vinstra megin við þýðingu þess í tvíundakerfi er margfaldað með 2 og við aukastaf - til 10. Slíkt kerfi hefur einn galli: það er of stór bitar vöxt sem þarf að taka númer. Dæmi aukastaf númer dvochinyh eins og sjá má í meðfylgjandi töflu.

Tugabrot tölur eiga fulltrúa í tvöfaldur formi hér að neðan.

Það er einnig notað octal, og sextánskur tölusetningarkerfi.

Þetta dularfulla tölur

Hvað er stærðfræði, "tveir plús tveir" eða unexplored leyndardóma tölur? Eins og þú geta sjá, stærðfræði, geta, og það virðist við fyrstu sýn einföld, en það er ekki augljóst villandi vellíðan. Það er hægt að læra börn og ásamt frænku Owl úr teiknimynd "reikniaðgerð-baby", og þú getur kafa inn í djúpa vísindarannsókna næstum heimspekilegar röð. Í sögu hefur gengið frá að telja hluti til að tilbiðja fegurð tölum. Eitt er víst: við stofnun helstu postulates af stærðfræði, allir vísindin geta treyst á sterkum öxlinni.