Regla Cramer og notkun hennar

Reglan Cramer - er einn af the nákvæmur aðferðir til að leysa kerfi línuleg Algebraic jöfnur (Slough). Nákvæmni hennar vegna notkunar á áhrifaþætti í kerfi fylkinu, eins og sumir af the takmarkanir á sönnun á setningu.

A kerfi línuleg Algebraic jöfnur með stuðlum sem tilheyra, til dæmis, fjöld R - alvöru tölur óþekktum x1, x2, ..., xn er safn af tjáning

ai2 x1 + ai2 x2 + ...'Ayn xn = bi með i = 1, 2, ..., m, (1)

þar aij, bi - rauntölur. Hver af þessum tjáning er kallað línulegt jafna, aij - stuðlum af óþekktum, bi - sjálfstæðir stuðlum jöfnur.

Lausn af (1) sem vísað er til n-víddar genaferju x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), þar sem skipta inn í kerfi fyrir óþekktum X1, X2, ..., xn, sem hvert um línur í kerfið verður mesta jöfnu .

Kerfið er kallað samræmi ef það hefur að minnsta kosti eina lausn, og ósamræmi, ef það fellur með lausn mengi tómamenginu.

Það verður að hafa í huga að til að finna lausnir á Línuleg jöfnuhneppi með því að nota aðferð Cramer, hafa Matrix kerfi til að vera ferningur, sem í grundvallaratriðum þýðir sama fjölda óþekktar og jöfnur í kerfinu.

Svo, til að nota aðferð Cramer er, þú verður að minnsta kosti að vita hvað Matrix er kerfi af línulegum Algebraic jöfnur, og það er gefið út. Og í öðru lagi, til að skilja hvað er kallað ákveðu fylkisins og eigin færni hennar útreikningur.

Gerum ráð fyrir að þessi þekking sem þú eignar. Wonderful! Þá verður þú bara að leggja á minnið formúlur ákvarða Kramer aðferð. Til að einfalda memorization nota eftirfarandi tákn:

• Det - helstu ákveðu fylkinu kerfisins;

• deti - er ákvarðandi þáttur í fylkið sem fæst úr frum stoðefni kerfisins með því að skipta i-ta dálki grindarefnisins á súlu vigurs sem þættir séu rétta hliðar á línulegra algebraic jafna;

• n - fjöldi óþekktar stærðir og jöfnur í kerfinu.

Þá Cramer er regla útreikningur i-ta hluti xi (i = 1, .. n) n-víddar vektor x hægt að skrifa sem

xi = deti / Det, (2).

Í þessu tilviki, Det stranglega frábrugðin núlli.

Sérstaða lausn kerfisins þegar það er í sameiningu veitt af ójöfnuði ástandi helstu ráði kerfisins á núll. Annars, ef summa (XI), veldi, stranglega jákvætt, þá SLAE er ferningur fylki infeasible. Þetta getur átt sér stað, einkum þegar að minnsta kosti einn af deti frábrugðnar núlli.

Dæmi 1. Til að leysa þrívítt Lau kerfi því að nota formúlu Cramer er.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + X3 = 10.

Ákvörðun. Við skrifa niður matrix kerfisins milli lína, þar Ai - er i-ta röð fylkinu.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Column free Reiknistuðlar B = (31 29 10).

Helstu Kerfið er ákveðu Det
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - a13 A22 A31 - A11 a32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2-10 = -27.

Til að reikna út permutation det1 með A11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. þá
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 b2 a32 - a13 A22 b3 - b1 a32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Á sama hátt, til að reikna det2 nota skiptihvarf A12 = b1, A22 = b2, a32 = B3, og, í samræmi við það, til að reikna út det3 - a13 = b1, A23 = b2, A33 = B3.
Þá er hægt að stöðva þessi det2 = -108 og det3 = - 135.
Eftir því sem við formúlunum Cramer finna x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Svar: x ° = (3,4,5).

Reiða sig á notagildi þessarar reglu, aðferð við Kramer leysa Línuleg jöfnuhneppi er hægt að nota óbeint, til dæmis, til að kanna kerfið á mögulega fjölda lausna eftir verðmæti breytu k.

Dæmi 2. Til að ákvarða við hvaða gildi birtingarmynd breytunnar k misrétti | kx - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 hefur nákvæmlega einni lausn.

Ákvörðun.
Þetta misrétti, við skilgreiningu á mát virka hægt að framkvæma aðeins ef báðir orðasambönd eru núll samtímis. Því þetta vandamál er minni til að finna lausn á línulegum algebraic jafna

KX - y = 4,
x + ky = -4.

Lausnin við þessu kerfi ef það er aðal ákveðu að
Det = k ^ {2} + 1 er frábrugðnar núlli. Það er ljóst að þetta skilyrði sé fullnægt fyrir alla alvöru gildi breytu k.

Svar: fyrir alla alvöru gildi breytu k.

Markmiðum þessa tegund er einnig hægt að minnka mörg hagnýt vandamál á sviði stærðfræði, eðlisfræði eða efnafræði.