Summa hornanna í þríhyrningi. Setning á summu horna í þríhyrningi

Þríhyrningurinn er marghyrningur með þremur hliðum (þremur sjónarhornum). Oftast hluti táknuð með litlum stöfum samsvarandi stafi, sem tákna gagnstæða hornpunkta. Í þessari grein við taka a líta á þessar tegundir af geometrísk form, setningin, sem skilgreinir hvað er jöfn summu horna í þríhyrningi.

Tegund stærstu horn

Eftirfarandi gerðir af keilu með þremur hornpunkta:

• bráð-horn, þar sem öll hornin eru mikil;
• rétthyrndur með eitt rétt horn, hlið mynda það, sem vísað er til fótum, og að hliðin sem er komið fyrir gegnt til rétt horn er kallað langhliðar;
• sjáanlegir þegar maður hornið er gleiðhyrndur ;
• jafnarma, sem hafa tvær hliðar eru jafnir, og þeir eru kallaðir hlið, og þriðja - þríhyrning með basa;
• jafnhliða having þremur jöfnum hliðum.

eiginleikar

Úthluta helstu eiginleika sem eru einkennandi fyrir hverja tegund þríhyrning:

• gagnstæða mesta hlið er alltaf meiri horn, og öfugt;
• eru jafn horn gegnt jafn stærsti aðili, og öfugt;
• í hvaða þríhyrning hefur tvær hvasst horn;
• ytri horn meiri en nokkur innra hornið ekki aðliggjandi við hana;
• summan af hvaða tveimur sjónarhornum er alltaf minna en 180 gráður,
• utan horn jafngildir summu í tvö horn, sem eru ekki mezhuyut með honum.

Setning á summu horna í þríhyrningi

Setning segir að ef þú bætir upp alla hornum rúmmyndarinnar, sem er staðsett í Evklíðs flugvél, þá summa þeirra verður 180 gráður. Við skulum reyna að sanna þessa setningu.

Látum við höfum einhvern þríhyrning með hornpunkta KMN. Yfir the toppur af M mun halda bein samsíða línu KN (jafnvel þessi lína er kallað Euclid). Það skal tekið fram punkt A svo að atriði K og er komið frá mismunandi hliðum línu MN. Við fáum sömu horn AMS og MUF, sem, eins og innréttingu, leggjast þversum til að mynda sker Mn í tengslum við beinni CN og MA, sem eru samsíða. Af þessu leiðir að summa hornanna í þríhyrningi, staðsett á hornum M og N er jafn stærð CMA horn. Öll þrjú horn samanstanda af þeirri fjárhæð sem svarar til summu horn af KMA og MCS. Þar sem gögnin eru innri horn hlutfallslega hliða samsíða línur CL og CM MA á skorist summa þeirra er 180 gráður. Þetta sannar setningin.

niðurstaðan

Af ofangreindu er hér að ofan setningin felur í sér eftirfarandi afleiðing: sérhver þríhyrningur hefur tvo bráðum horn. Til að sanna þetta, við skulum gera ráð fyrir að þessi rúmfræðilega tala hefur aðeins eitt bráðum horn. Þú getur einnig gert ráð fyrir að ekkert af hornum eru ekki skörp. Í þessu tilfelli verður að vera að minnsta kosti tvö horn, umfang sem er jafn eða meiri en 90 gráður. En þá er summan af sjónarhornum meiri en 180 gráður. En þetta getur ekki verið, eins og samkvæmt setningin summan horn þríhyrnings er jöfn 180 ° - ekkert meira, ekkert minna. Það er það sem þurfti að sanna.

Property utan horn

Hver er summan af horns í þríhyrningi, sem eru ytri? Svarið við þessari spurningu er hægt að nálgast með því að beita tvo vegu. Hið fyrra er að þú þarft að finna summu horn, sem eru teknar einn í hverri kúlu, sem er þremur sjónarhornum. Annað felur í sér að þú þarft að finna summu sex horn á hornum. Til að takast á við upphaf fyrstu útfærslunni. Þannig er þríhyrningur inniheldur sex ytri hornum - efst á hvor tveggja. Hvert par hefur jafnan horn sín á milli, þar sem þeir eru lóðrétt:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Þar að auki er það þekkt að ytri horn þríhyrnings jafngildir summu tveggja innréttingu, sem eru ekki mezhuyutsya með honum. því,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Af þessu virðist sem summa ytri horn, sem eru teknar einn af öðrum nær hvorri kúlu verður jafn:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Í ljósi þess að summa hornanna jafngildir um 180 gráður, það má segja að ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Þetta þýðir að ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ef annar valkostur er notaður, summan af sex sjónarhornum verður að sama skapi meiri tvisvar. Þ.e. samtölu horns í þríhyrningi utan verður:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 til viðbótar = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

rétthyrndur þríhyrningur

Hvað er jöfn summu horns hægri þríhyrningi, er eyjan? Svarið er, aftur, frá setningin, sem segir að horn þríhyrnings bæta upp að 180 gráður. Góð fullyrðingu okkar (eign) eins og hér segir: í rétta þríhyrningi skörp horn bæta allt að 90 gráður. Við sanna sannleiksgildi hennar. Látum það vera gefið þríhyrningur KMN, hvaða ∟N = 90 °. Það er nauðsynlegt að sýna fram á að ∟K ∟M = + 90 °.

Svona, í samræmi við setningin á summunni horns ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Í þessu ástandi og það er sagt að ∟N = 90 °. Það kemur í ljós ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Það er ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Það er það sem við ættum að sanna.

Í viðbót við ofangreindar eiginleika hægri þríhyrningi, getur þú bætt við þessar:

• horn, sem liggja við fætur eru mikil;
• langhliðar af þríhyrningur meiri en við eitthvað af fótum;
• summan af fótum meira en langhliðar;
• fótur þríhyrningsins, sem liggur gegnt í horn 30 gráður, helmingur af langhliðinni, sem er jafn helming þess.

Sem annar eign rúmmyndarinnar má greina Pýþagórasarregluna. Hún heldur því fram að í þríhyrning með horn 90 gráður (rétthyrnd), summa ferninga fótleggja jafngildir veldi langhliðar.

Summa horn jafnarma þríhyrningi

Fyrr við sagði að jafnarma þríhyrningur er marghyrningur með þrjá hornpunkta, sem inniheldur tvo jafna hliðar. Þessi eign er þekkt rúmfræðilega mynd: hornin á grunn þess jafnir. Leyfðu okkur að sanna þetta.

Taktu þríhyrninginn KMN, sem er jafnarma, SC - undirstaða þess. Okkur ber skylda til að sanna að ∟K = ∟N. Svo skulum gera ráð fyrir að MA - KMN er helmingalína þríhyrningsins okkar. ICA þríhyrningur með fyrsta merki um jafnrétti er þríhyrningur MNA. Það er með því tilgátu í ljósi þess að CM = NM, MA er algeng hlið, ∟1 = ∟2, vegna þess að MA - þetta helmingalína. Notkun jafnrétti tveimur þríhyrningum, gæti einn halda því fram að ∟K = ∟N. Þess vegna er setningin er sannað.

En við erum áhuga á, hvað er summan af horns í þríhyrningi (jafnarma). Vegna þess að í þessu sambandi að það hefur ekki eiginleika hennar, munum við byrja frá setningin áður rætt. Það er, við getum sagt að ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eða 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (eins og ∟K = ∟N). Þetta mun ekki reynast eign, sem setningin á samtölu horns í þríhyrningi var sannað fyrr.

Nema talin eiginleika hornum þríhyrnings, það eru líka svo mikilvægt yfirlýsingar:

• í jafnhliða þríhyrningi hæð, sem hafði verið lækkað til the undirstaða, er samtímis miðgildi helmingalína á horn sem er á milli jafn hliðum og ás samhverfu stöð hennar;
• Miðgildi (helmingalína, hæð), sem eru haldin til hliðar í rúmfræðihluta eru jafnir.

jafnhliða þríhyrningur

Það er einnig kallað rétt, er þríhyrningur, sem eru jafn allra aðila. Og því einnig jafnt og horn. Hver af þeim er 60 gráður. Leyfðu okkur að sanna þessa eign.

Gerum ráð fyrir að við höfum þríhyrning KMN. Við vitum að KM = HM = KH. Þetta þýðir að samkvæmt eign horns staðsett á stöð í jafnhliða þríhyrningi ∟K = ∟M = ∟N. Síðan, í samræmi við summu horn af því að vera þríhyrningslaga setningin ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, þá er x 3 = 180 ° ∟K eða ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Þannig fullyrðingu er sannað. Eins og sést af ofangreindum sönnunargögn byggt á ofangreindum setningin, summa hornanna jafnhliða þríhyrnings, sem summa hornanna annarra þríhyrningi er 180 gráður. Aftur sanna þessa setningu er ekki nauðsynlegt.

Það eru enn nokkrar eignir einkennandi jafnhliða þríhyrningi:

• Miðgildi helmingalína hæð í rúmfræðilega mynd nákvæmlega eins, og lengd þeirra er reiknað sem (a x √3): 2;
• ef þennan marghyrning sem umlykur hring, þá er radíus verður jafn stór og (a x √3): 3;
• ef inscribed í hring jafnhliða þríhyrningi, radíus þess væri (a x √3): 6;
• svæði þeirra rúmfræðihluta er reiknaður með formúlunni: (A2 x √3): 4.

sjáanlegir þríhyrningi

Samkvæmt skilgreiningu er sjáanlegir-horn þríhyrningur, einn af hornum hans er á milli 90 til 180 gráður. En í ljósi þess að hinir tveir horn rúmmyndarinnar skarpur, má draga þá ályktun að þeir fari ekki 90 gráður. Því summa horn þríhyrnings setningin vinnur við útreikning samtölu horn í sjáanlegir þríhyrningi. Svo getum við örugglega segja, miðað við ofangreinda setningu sem summa gleiðu horni í þríhyrningi er 180 gráður. Aftur, þetta setningin þarf ekki að koma aftur sönnun.